Лента Мебиуса – бесконечная загадка современности. Что такое Лента Мебиуса? Линия мебиуса

Вот он - автор удивительной ленты Мебиуса!
Немецкий математик и астроном-теоретик Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) - ученик великого Гаусса, известный геометр, профессор Лейпцигского университета, директор обсерватории. Долгие годы преподавания, долгие годы работы - обычная жизнь профессора.

И вот надо же, это случилось под конец жизни! Пришла удивительная идея … это был самое значительное событие в его жизни! К сожалению, он так и не успел оценить значимость своего изобретения. Статья о знаменитой ленте Мебиуса была опубликована посмертно.

Как же называют ленту Мебиуса (иначе лист Мебиуса или петлю Мебиуса) математики?

На языке математики - это топологический объект , простейшая односторонняя поверхность с краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве, где можно попасть из одной точки этой поверхности в любую другую, не пересекая края.
Достаточно сложное определение!

Поэтому удобнее просто рассмотреть ленту Мебиуса поближе. Берем бумажную полоску, перекручиваем полоску в пол-оборота поперек (на 180 градусов) и склеиваем концы.

В другой раз «мама бы по головке за такую работу не погладила»! Но, на этот раз вы правы! Она должна быть перекрученным кольцом.

Ставим в каком-нибудь месте на полоске точку фломастером. А теперь прочерчиваем вдоль всей нашей ленты линию, пока вам не встретится вновь ваша точка. Вам нигде не пришлось переходить через край - это и называется односторонней поверхностью.

Посмотрите, как интересно проходит прочерченная вами линия: она то внутри кольца, то снаружи! А теперь измерьте длину этой линии - от точки до точки.
Удивляетесь?
Она оказывается в два раза длиннее первоначальной полоски бумаги!

Так и должно быть, ведь у вас в руках лента Мебиуса! А у ленты Мебиуса есть только одна сторона, и мы опять скажем - это односторонняя поверхность с краем.

А если по этой черте заставить ползти, не сворачивая, муравья, то вы получите копию картины художника Мориса Эшера.
Бедный муравей на бесконечной дороге

А можно сделать две немного разные ленты Мебиуса: у одной перекручивать перед склейкой полоску по часовой стрелке, а у другой - против часовой стрелки. Так различаются правая и левая ленты Мебиуса.

А теперь интересные сюрпризы с лентой Мебиуса:

1. Разрежьте ленту Мебиусавкруговую по центральной линии. Не бойтесь, она не развалится на две части! Лента развернется в длинную замкнутую ленту, закрученную вдвое больше, чем первоначальная. Почему лента Мебиуса при таком разрезе не распадается на отдельные части?
Разрез не касался края ленты, поэтому после разреза край (а значит и вся полоска бумаги) останется целым куском.

2. Полученную после первого опыта ленту Мебиуса (закрученную вдвое больше, чем первоначальная, т.е. на 360 градусов) вновь разрежьте по ее центральной линии.
Что получится?
У вас в руках окажутся теперь две одинаковые, но сцепленные между собой ленты Мебиуса.

3. Сделайте новую ленту Мебиуса, но перед склейкой поверните ее не один раз, а три раза (не на 180 градусов, а на 540). Затем разрежьте ее вдоль центральной линии.

Что получилось?
У вас должна получиться замкнутая лента, завитая в узел трилистника , т.е. в простой узел с тремя самопересечениями.

4. Если вы сделаете ленту Мебиуса с еще большим числом полуоборотов перед склейкой, то получатся неожиданные и удивительные фигуры, называемые парадромными кольцами .

5. Если разрезать ленту Мебиуса, не посередине, а отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получатся две сцепленные ленты, одна — более короткая лента Мебиуса, и другая — длинная лента Мебиуса с двумя полуоборотами.

Посмотрите, как это можно сделать на практике:

Близкой к ленте Мебиуса односторонней поверхностью является бутылка Клейна.
Интересно, что бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мебиуса по краям. Однако, в обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Есть еще один интересный объект, связанный с лентой Мебиуса. Это резистор Мебиуса.

В истории нередко бывают случаи, когда одна идея приходит в головы одновременно нескольким изобретателям. Так случилось и с лентой Мебиуса. В том же 1858 году идея ленты пришла и к другому ученому - Иоганну Листингу . Он дал название науке, изучающей непрерывность, — топология . А первенство в открытии топологического объекта - ленты досталось Августу Мебиусу.

Мы незаметно встречаем ленту Мебиуса в разных устройствах: это и красящие ленты в матричных принтерах,и ременные передачи, шлифовальные устройства, ленточные конвееры и многие другие. В этом случае срок службы изделия увеличивается, т.к. уменьшается изнашиваемость. А в системах непрерывной записи применение ленты Мебиуса позволяет вдвое увеличить время записи на одну пленку.

Таинственная лента Мебиуса всегда будоражила умы писателей, художников и скульпторов.
Рисунок ленты Мебиуса используется в графике.Вспомните, например, эмблему знаменитой серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“» или международный символ переработки

Всем известно, что мир наш имеет три измерения, что Земля вращается вокруг Солнца, что любая поверхность имеет две стороны: верхнюю и нижнюю… А вот и не угадали! Не любая. Потому что, оказывается, существуют поверхности, которые имеют только одну сторону, и это научно доказано.

Кто изобретатель?

Это геометрическое явление было открыто почти одновременно, но независимо друг от друга, двумя немецкими учеными: Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом (1858г.). ? Сам математик изготовил её из листа бумаги и она оказалась первой известной человечеству односторонней поверхностью. До той поры считалось, что невозможно попасть из одной точки данной поверхности, не пересекая её края, в любую другую.

Как сделать ленту Мёбиуса своими руками?

Вы сами можете сделать модель листка Мёбиуса и на собственном опыте убедиться, что у него действительно одна сторона. Все очень просто. Для этого Вам понадобиться листок бумаги, ножницы, клей, какая-нибудь краска двух цветов и, конечно же, Ваше неугасающее любопытство.
Начнем с того, что из бумажного листа надо вырезать ленту с размерами приблизительно 24х4 см. Затем для ясности обозначим углы с одной стороны ленты A и B, с другой – C и D. Далее бумажную полоску нужно перекрутить один раз и склеить таким образом, чтоб угол A совместился с углом D, а угол B – с углом C. Получившаяся фигура и носит название ленты Мёбиуса.
Само изделие мы создали, теперь осталось придумать, как сделать проверку ленты Мёбиуса на односторонность. Чтобы это осуществить, возьмем любую краску и начнем постепенно окрашивать изготовленную ленту с одной стороны сантиметр за сантиметром не переходя ни в коем случае через её край. Краску иного цвета оставим для другой стороны. Вскоре станет видно, что её применять не к чему, потому что белой бумаги совсем не осталось. Значит, таки правда, лента Мёбиуса – односторонняя поверхность.
Неожиданные результаты дает также и разрезание листка Мёбиуса. Как сделать из одной ленты Мёбиуса две, но уже? Казалось бы, что может быть проще: взять да и разрезать ровно посерединке. Но образуется не два кольца, как ожидается, а одно большое. Последующие разрезания ленты будут удивлять Вас все больше и больше.

Как ленту Мёбиуса сделали незаменимым открытием

Всё это забавно и увлекательно, но лента Мёбиуса не просто интересная игрушка. Многие учёные задумывались над тем, как сделать ленту Мёбиуса полезной для человечества , найти ей достойное применение. В наши дни зарегистрировано множество таких изобретений, среди них и двусторонний способ записывания звука на киноленту без перематывания плёнки, и особенные кассеты для магнитофонных лент. А в 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство на бесконечную шлифовальную ленту, которая работает сразу обеими сторонами на основе листка Мёбиуса.
Некоторые ломали головы над тем, как сделать ленту Мёбиуса неким «предком» символа бесконечности, ведь двигаться поверхностью ленты можно действительно вечно. Но этот факт себя не оправдал, так как данный символ существовал задолго до открытия Мёбиуса.
Вот такими удивительными способностями обладают некоторые, на первый взгляд простые, предметы.

Мастер-класс «Сюрпризы листа Мебиуса» - разработала учитель математики МБОУ «Гимназия №1» г. Рузаевка Ханина М.Ф.

Добрый день уважаемые коллеги! Сегодня я хочу, чтобы вы вспомнили об одном удивительном объекте, и посмотрели как с помощью простых опытов, можно познакомить детей с понятием односторонней поверхности и ее удивительных свойствах, донести до сознания, что математические объекты и законы применяются как в повседневной жизни, так и в искусстве.

Ещё Блез Паскаль - великий французский физик и математик утверждал: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, сделать его немного занимательным».

Сюжет. (слайд 2)

В поезд № 86 отошёл от станции Парк-стрит, но ни на следующей станции, ни в депо не появился, без следов исчезнув вместе с машинистом и примерно с 350 пассажирами.

Профессор алгебры из Роджер Тьюпело, прочитав в газетах о произошедшем, приходит к главному управляющему городским метрополитеном Келвину Уайту, чтобы сообщить свою гипотезу исчезновения поезда. Согласно Тьюпело, после открытия новой линии Бойлстон изменились топологические свойства бостонского метрополитена и поезд попал в . Приняв его за сумасшедшего, Уайт выпроваживает Тьюпело.

Однако вскоре Уайту становится ясно, что поезд действительно находится где-то в метро. Так, состав № 86 периодически фиксирует автоматика в разных частях метрополитена, он потребляет электроэнергию, но никто его не видит, хотя шум его слышен. Было решено - не закрывать новую линию, в надежде, что поезд вернётся.

Проходит два месяца. Однажды утром, направляясь в университет, Тьюпело садится в метро и обращает внимание, что пассажир читает газету, которая датирована днём исчезновения поезда. Он бежит по вагону, проверяет даты газет у других пассажиров и у некоторых из них также оказываются газеты двухмесячной давности. Тьюпело дёргает за шнур сигнала и поезд останавливается. Математик объявляет пассажирам и машинисту, что прошло уже два месяца и просит проверить свои слова, посмотрев на дату газет у пассажиров, зашедших в вагон на предыдущей станции. Тьюпело выбегает в тоннель и бежит к телефону, по которому связывается с главным управлением метрополитена. Он сообщает, что 86-й поезд, наконец-то, нашёлся и все пассажиры живы - здоровы.

Встретившись с Уайтом, Роджер Тьюпело просит его закрыть линию Бойлстон, но Уайт отвечает: «Поздно. Двадцать пять минут назад между станциями Эглстон и Дорчестер исчез поезд номер 143».

Это был сюжет научно-фантастического рассказа Армина Дейча « Лист Мёбиуса». На русском языке был впервые опубликован в журнале « » в 1969 году. Бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

История открытия листа Мебиуса. ( слайд 3)

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса придумал в 1858 году немецкий ученый Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – ученик «короля» математиков Гаусса.

Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.

В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса (или лента). Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

Как получить лист Мебиуса? (слайд 4)

Перекрутите на пол-оборота (180˚) один конец прямоугольной бумажной полоски (удобные размеры: длина 30 см, ширина 3 см) и приклейте его к другому концу той же полоски. Эту модель и называют: «лист Мебиуса».

Топология ( слайд 5)

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией (по другому- «геометрия положения» или «резиновая геометрия»). В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях.

Удивительные свойства листа Мебиуса: он имеет один край, одну сторону- не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер.

Проведем несколько опытов с листом Мебиуса . ( слайд 6)

Опыт 1.

Возьмем приготовленный лист Мёбиуса и разрежем склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Как вы думаете, что получится?

Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее (так называемая «афганская лента») . К тому же перекручено оно не один раз, а два.

Опыт 2.

Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.

Опыт 3.

Из результатов опыта №2 каждое кольцо разрезаем посередине. Получим «цветок» - четыре кольца с двумя полуоборотами все сцеплены между собой.

Опыт 4.

Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Опыт 5.

А теперь попробуем изготовить такую модель: в полосе АВСD прорезать щель и продеть сквозь неё один конец. Повернув, на пол оборота, склейте, как показано на рисунке . А теперь продолжите разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось?

Получилась одна лента Мебиуса.

Опыт 6.

Возьмем полоску, перегнутую по длине один раз. Перекрутим ее на полный оборот и склеим концы, накладывая «домиком» один конец на другой. Теперь разрежем двойной слой склеенной ленты по ее средней линии - получатся три кольца, сцепленные попарно.

Продолжать опыты с листом Мебиуса можно бесконечно и результаты будут различны, в зависимости от того, четное ли количество пол оборотов или нечетное, посередине будет разрез или на 1/3, или на ¼ от края и т.д.

Символ математики ( слайды 7-8)

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

Лист Мебиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары.

Применение листа Мебиуса в литературе. ( слайд 9)

Но не только математиков вдохновлял и продолжает вдохновлять лист Мебиуса.

Лист Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине великого кристалла».

Романтическое описание листа Мёбиуса можно встретить в повести Э. Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы», и ещё в очень многих произведениях. Е му посвящено много стихов.

Применение листа Мебиуса в технике. ( слайд 10)

Подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

Применение листа Мебиуса в искусстве. ( слайд 11)

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства.

Мауриц Корнелис Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Мы можем увидеть ленту Мебиуса в работах «Всадники» (1946 г.), «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)» (1963 г.)

Лиза Рей «Корабль дураков в бесконечность».

Другая интересная литография называется "Картинная галерея", в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине - картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.

Применение листа Мебиуса в скульптуре и архитектуре. ( слайд 12)

Проект библиотеки в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены.

Современный буддийский храм.

Здание для тайваньского парка.

Проект моста в Китае.

Скульптуры в Москве, Риге, Минске.

Применение листа Мебиуса в быту. ( слайд 13)

Лист Мебиуса вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мебиуса.

Не остались равнодушными к нему и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой лист Мебиуса, склеенный из гнутого Британского дуба.

Поклонниками листа Мебиуса стали даже обувщики.

Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор Рон Арад является создателем дизайна флакона для духов в виде листа Мебиуса.

Заключение

Лист Мёбиуса используется в жизни и в различных сферах промышленности.

Он волнует литераторов и художников, архитекторов и скульпторов, озадачивает и вдохновляет людей творческой натуры.

Зная свойства листа Мёбиуса, можно изготовить полезные и нужные вещи.

Лист Мёбиуса известен далеко не всем людям, но он является частью того, что нас окружает в повседневной жизни!

Волшебная, нереальная - это все эпитеты, которыми можно наградить ленту Мебиуса. Одну из самых больших загадок современности. Возможно, именно лента Мебиуса скрывает в себе загадки взаимодействия всего существующего в нашей Вселенной. У этой фигуры есть загадочные свойства и вполне реальные области применения.

Лента Мебиуса является одной из самых необыкновенных геометрических фигур. Несмотря на ее необычность, ее легко сделать в домашних условиях.

Лента Мебиуса – это трехмерная неориентируемая фигура с одной границей и стороной. Этим она уникальна и отлична от всех других предметов, которые могут встретиться в повседневной жизни. Ленту Мебиуса также называют листом Мебиуса и поверхностью Мебиуса. Она относится к топологическим объектам, то есть объектам непрерывным. Такие объекты изучает топология - наука, исследующая непрерывность среды и пространства.

Интерес вызывает уже само открытие ленты. Два математика, несвязанных между собой, открыли ее в одном и том же 1858 году. Этими открывателями были Август Фердинанд Мебиус и Иоганн Бенедикт Листинг.

Условно различают ленты по способу сворачивания: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Их еще называют правая и левая. Но различить «на глаз» вид ленты невозможно.

Сделать такую фигуру чрезвычайно просто: нужно взять ленту ABCD. Свернуть ее так, чтобы соединить точки A и D, В и С, склеить соединенные концы.

Некоторые считают, что эта загадочная геометрическая фигура - прообраз перевернутой восьмерки-бесконечности, на самом деле это неверно. Этот символ был введен для использования намного раньше, чем была открыта лента Мебиуса. Но сходность смысла этих фигур определенно есть. Мистики называют ленту Мебиуса символом двойственного восприятия единого. Лента Мебиуса словно говорит о взаимопроникновении, взаимосвязанности и бесконечности всего в нашем мире. Недаром, ее часто используют в качестве эмблем и товарных знаков. Например, международный символ переработки выглядит как лента Мебиуса. Лента Мебиуса может быть также своеобразной иллюстрацией некоторых явлений в природе, например, круговорота воды.

Лента Мебиуса имеет характерные свойства, они не меняются, если ленту сжимать, комкать или резать вдоль.

К этим свойствам относятся:

• Односторонность. Если взять ленту Мебиуса и начать закрашивать в любом ее месте и направлении, то постепенно вся фигура будет закрашена целиком, при этом фигуру не нужно будет переворачивать.
• Непрерывность. Каждую точку этой фигуры можно соединить с другой ее точкой, при этом ни разу не выходя за края ленты.
• Двусвязность (или двумерность). Лента остается цельной, если резать ее вдоль. Из нее не получатся в этом случае две разные фигуры.
• Отсутствие ориентированности. Если представить, что человек мог бы идти по этой фигуре, то при возвращении в точку начала путешествия, он бы превращался в свое отражение. Путешествие по листу бесконечности могло бы продолжаться вечно.

Если взять ножницы и немножко поколдовать над этой загадочной поверхностью, то получится создать дополнительные необычные фигуры. Если резать ее вдоль, по линии, удаленной от краев на равное расстояние, то получится закрученная «Афганская лента». Если полученную ленту разделить вдоль, посередине, то образуются две ленты, взаимопроникающие друг в друга. Если положить друг на друга несколько полосок и соединить в ленту Мебиуса, то если такую фигуру развернуть, снова получится «Афганская лента».

Если разрезать ленту Мебиуса с тремя или большим количествам полуоборотов, то получатся кольца, называющиеся парадромными.

Если склеить вместе две ленты Мебиуса вдоль границ, то выйдет другая удивительная фигура – бутылка Кляйна, но ее нельзя сделать в обычном трехмерном пространстве.

Если сгладить некоторые грани листа Мебиуса, то выйдет невозможный треугольник Пенроуза. Это плоский треугольник-иллюзия, когда смотришь на него, он кажется объемным.

Лист Мебиуса – неиссякаемый источник для творчества писателей, художников и скульпторов. Его упоминание часто встречается в фантастической и мистической литературе. На его свойствах основывались художественные вымыслы о возникновении Вселенной, устроенности загробной жизни, передвижении во времени и пространстве. Лист Мебиуса упоминали в своих произведениях Артур Кларк, Владислав Крапивин, Хулио Кортасар, Харуки Мураками и многие другие.

Известным художником Эшером был создан ряд литографий с использованием ленты. На наиболее известной его работе муравьи ползут по листу Мебиуса.

Свойства ленты Мебиуса позволят показать интересные фокусы. Рассмотрим один из самых известных. Подвешиваются две ленты Мебиуса из калийной селитры, маг касается зажженной сигаретой до средней линии каждой из них. Разгоревшееся пламя удлинит первую ленту, а вторую превратит в две, связанные друг с другом. В форме ленты Мебиуса сделан популярный аттракцион «Американские горки». Часто используют эту геометрическую фигуру ювелиры при создании дизайна драгоценностей.

Ленту Мебиуса широко применяют в науке и промышленности. Она является источником для множества научных исследований и гипотез. Существует, например, теория, что ДНК – это часть листа Мебиуса. Исследователи в области генетики уже научились разрезать одноцепочную ДНК так, чтобы получить из нее ленту Мебиуса. Физики говорят о том, что оптические законы базируются на свойствах листа Мебиуса. Например, отражение в зеркале – это своего рода передвижение во времени по аналогичной траектории. Есть научная гипотеза о том, что Вселенная – это гигантская лента Мебиуса.

В начале 20 века Никола Тесла изобрел резистор Мебиуса, который противостоит потоку электроэнергии, не вызывая при этом электромагнитных помех. Он состоит из двух проводящих поверхностей, которые скручены на 180 ° и образуют ленту Мебиуса.

Полоса ленточного конвейера (транспортирующей машины непрерывного действия) сделана в форме ленты Мебиуса. Такая поверхность позволяет увеличить срок использования ленты, так как ее изнашивание будет происходить равномерно. Используют форму ленты Мебиуса и при записи на непрерывную пленку.

Лист Мебиуса применялся в матричных принтерах для продления срока годности красящей ленты.

На основе ленты Мебиуса создано абразивное кольцо в механизмах для заточки, работает автоматическая передача.

В настоящее время многие изобретатели пользуются свойствами данной ленты для проведения экспериментов и создания новых устройств.

Лента Мебиуса продолжает вызывать стойкий интерес, не только у математиков и изобретателей, но и у обычных людей. Она вдохновляет деятелей искусства на создание загадочных произведений и фантастических теорий. Эксперименты с этой интересной фигурой – увлекательное занятие, как для взрослого, так и для ребенка. Ее свойства нашли свое применение в науке, технике и в быту. Лента Мебиуса - это занимательная математическая загадка, скрывающая в себе смысл идеалистического понимания устройства Вселенной, ее воздействие на нашу жизнь можно изучать бесконечно.

Односторонняя головоломка

Поскольку каждый лист бумаги имеет две стороны, то, когда вы рисуете, вам необходимо поднять карандаш и перевернуть бумагу, чтобы нарисовать на другой стороне. Если бы бумага имела только одну сторону, вы могли бы писать на любой ее части, не отрывая карандаша. Если жук ползает по односторонней бумаге, он может попасть в любую ее часть, не перебираясь через острые края, верно? И всегда может вернуться туда, откуда начал свою прогулку. Разве подобное возможно?

Настоящий односторонний лист бумаги был открыт немецким астрономом и математиком по имени Август Фердинанд Мёбиус. В его честь такой лист называется лента Мёбиуса.

Мёбиус изучал раздел математики, называемый топологией и исследующий поверхности объектов. Топологи, так называют математиков, занимающихся топологией, выясняют, что происходит с вещами при их деформировании, когда они изменяют свою форму, не разрываясь или с образованием отверстий. Я приведу вам пару примеров.

В моем воображении я могу искривить и растянуть гвоздь, придав ему форму кусочка жевательной резинки, не так ли? (Конечно же, в топологии мы используем наше воображение. Многие вещи нельзя воплотить в реальность.) А могу ли я взять ножницы и растянуть их в форме жевательной резинки? Нет! Не получится, поскольку в ножницах есть отверстия в ручках. Как бы я мысленно ни изменял их первоначальную форму, в них все равно останутся отверстия. А для тополога все веши без отверстий одинаковы, так же как и все вещи с равным количеством отверстий. Это довольно сложная наука, но, если вы хоть немного начали понимать это, вы можете стать хорошим топологом. Эти примеры требуют очень хорошего воображения, и они – только начало в науке о топологии.

Суть в том, что топологи изучают поверхности предметов. Для тополога лист бумаги имеет две стороны. (Он может сказать даже, что их шесть, если он подумает о кромках.) Если ему нужна бумага с одной стороной, он будет думать о том, как их можно соединить в одну. Это именно то, чем занимался Мёбиус, и вот какое решение он нашел.

Приступаем к изготовлению ленты Мёбиуса

Это исследование похоже на то, которое вы проводили в конце первого раздела. Во-первых, сделайте кольцо из полоски газетной бумаги, склеив ее концы клейкой лентой. Проведите карандашом линию вдоль середины полоски. После этого вы обнаружите, что линия проходит по одной, внешней стороне. Этот кусочек бумаги, хотя и стал кольцом, все еще имеет две стороны!

Лента Мёбиуса своими руками:

Скрепите другую полоску бумаги в кольцо, но перед тем, как склеить концы, поверните полоску на пол-оборота. Обведите ее вдоль середины. Вы вернетесь к тому месту, откуда начали, и ваша линия пройдет по обеим сторонам! Хотя вы не отрывали карандаша от бумаги, чтобы «нарисовать на другой стороне», эта бумажная полоска (с повернутым концом) и есть знаменитая лента Мёбиуса, лист бумаги, у которого только одна сторона!

Когда вы сделаете ленту Мёбиуса, можете продолжить ее исследование. Естественно, лист бумаги с одной-единственной стороной очень отличается от любого другого листа, с которым вы когда-либо сталкивались в своей жизни.
А насколько он другой?

Разрежьте ножницами первое (обыкновенное) кольцо вдоль проведенной вами линии. Вы получите в результате два отдельных бумажных колечка. Этого-то вы и могли ожидать от двухстороннего листа бумаги.

Сделайте такой же разрез на ленте Мёбиуса (с повернутым концом). На этот раз вы получите одно кольцо, которое будет вдвое длиннее исходного.

Действительно, односторонняя бумага очень отличается.

Если вы удивлены тем, что случилось со второй стороной или почему полоска оказалась вдвое длиннее, то я боюсь, что вам придется подождать с вопросами. Хотя топология – одна из самых захватывающих наук, настоящее ее понимание требует огромных знаний. Возможно, этот простой эксперимент заставит вас заинтересоваться «странным миром топологии», о котором вы наверняка еще не раз вспомните.